数学入門その1 位取り記数法からマイナス同士のかけ算まで

数学入門

数学勉強しなおそうと思い立ちましたが一体どこからやればいいのやら。
とりあえず初歩的なことからやっていこうかなと思います。
勉強したことの備忘録として残していきます。

位取り記数法

本当に1から始めるときりがないのでまずは数の表現から学ぼうと思います。

数というのは元々は当然何かを測る為に使われたものです。
なので民族によって数の数え方は違います。
2進法から果てはバビロニアの60進法まで使われていたというから驚きです。
英語でダースやフィート、12がtwelveで13からthirteenと変化するのは12進法が使われていた名残のようです。
その他にも時計の60進法が使われていますし、コンピューターは2進法で計算しています。
人間が10進法なのは手の指の数が影響してるようです。

私達は意識していないだけで身の回りには様々な位取り記数法があってその影響の元生活しているんです。

繰り上がって桁が増えるという発想は太古の昔には大発明で、軍事面や経済面で多大な影響力を持ち国家や民族としての盛衰にすら影響を及ぼしていました。
例えば12進法は1,2,3,4,6で分割できるため方位や時間などを分割しやすいので天文学が発達しやすく、さらに天文学は季節の予想を助けます。
つまり食料が人民に安定的に供給できるようになります。

そして大きな数字を使う場合、数字はどんどん簡略化されていきます。
例えば大きな土木工事の人員の配分を計算したり成果の分配など関わる人が多ければそれだけ大きな数字が必要になるし、計算するには暗算ではできないので書き出したりする必要があります。

例えば日本語では九十九(90+9)百一(101)のように単純な規則性があり、その規則に従ってどんどん数を増やしていけます。
特に江戸時代に娯楽として扱われたりと高い数学的素養を持っていたようで、つるかめ算に代表されるような和算という数学が発展させています。

連続量

人の数などの自然数の次に人類は連続量が必要になりました。
例えば面積や体積などを分割したりしていると次に現れるのは分数と少数です。

限られた水を均等に分けたり、バラバラの布を同じ面積で分配しなきゃいけなかったりしたときの複雑な計算で役立つようになります。
そしてかけ算や割り算が発達していきます。
それらはさらに速さといった新たな概念が生みだし、今度は割り切れない無限循環小数や循環しない無限小数の数学的概念も一緒に登場してきます。
そして1/3=0.333333333という現実に存在しない数というものも出現し始めるので数を分類し理解する必要が出てきます。

その過程で整数や少数、無限小数や無限循環小数などの同じ数に分類されているものを細分化し理解されていきました。

負の数

そして現実に存在しない数字を受け入れること発想を飛躍させることができます。
-1といった負の数の誕生です。

-1+2=1というだけなら理解しやすいですが、-2×2=-4、-2×-2=4など直感では理解できないような新たな概念が登場してきます。
マイナスのかけ算のような難解な発想の理解に必要なのが数直線です。

中学生の敵マイナスのかけ算

(+1)×(+2)は右を向いて(+方向)1歩だけ2回進む(+方向)。
なので答えは2。

今度は(+1)×(-2)です。
これは右を向いて(+方向)に1だけ2回戻る(-方向)。
なので答えは-2。

次は(-1)×(-2)です。これが少しややこしい。
先ほどのようにまず-1なので左(-方向)を見ます。
次にかける-2です。つまり後ろに1だけ2回戻る。
つまり後ろ向きに2歩歩くので数直線上は2歩右(+方向)に進むことになります。

マイナス同士のかけ算なんて日常遭遇しないので直感的に理解しずらい。
なので定規などを使って理解したのかもしれません。

マイナスやプラスという数直線上の方向という新たな考え方が必要になってきますので図形やグラフなどの道具も一緒に発展していったのでしょう。
次回は代数について勉強してみよう。


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